Số nguyên và số chẵn có nhiều như nhau không?

Số chẵn và số nguyên có nhiều như nhau không? Nhiều bạn chưa kịp suy nghĩ đã trả lời “không, không như nhau, bởi vì số chẵn là một bộ phận của số nguyên”. Hoặc cũng không ít người tỏ ý hoài nghi về câu hỏi này, không nắm chắc lắm nên trả lời: “có thể nhiều như nhau vì số nguyên và số chẵn có đối ứng 1 – 1”, Trong số đó có bạn viết lên bảng đối ứng 1 – 1 giữa số nguyên và số chẵn:

Trong hai loại ý kiến thì ai đúng, ai sai?

Bản chất vấn đề nêu trên chính là việc so sánh sự to nhỏ của hai tập hợp: tập hợp số nguyên và tập hợp số chẵn. Việc so sánh độ to, nhỏ của hai tập hợp hữu hạn khá đơn giản, nhưng với các tập hợp vô hạn thì thế nào là “to nhỏ” so với nhau, và so sánh được thực hiện như thế nào?

Đối với một tập hợp hữu hạn thì dựa vào số phần tử có trong mỗi tập hợp để so sánh và làm thước đo cho độ to, nhỏ. Ví dụ:

Một bộ phận so với toàn thể (theo lập luận của lí thuyết tập hợp) thì bộ phận nhỏ hơn toàn thể.

Nếu giữa hai tập hợp có thể thiết lập đối ứng 1 -1 giữa các phần tử của hai tập hợp thì chúng có độ lớn như nhau.

Hai cách trả lời trình bày trên kia chính là hai kết quả dựa vào hai tiêu chuẩn khác nhau đối với một tập hợp đơn giản suy ra cho một tập hợp vô hạn.

Thực ra trong hai tiêu chuẩn thì tiêu chuẩn hai là bản chất. Ta hãy suy nghĩ một chút từ “ba” có thể được trừu tượng hoá từ những sự vật gì? Mọi người đều biết có thể có “tập hợp ba con chó”, “tập hợp ba người”, “tập hợp ba quyển sách” v.v… Như vậy thông qua việc quan sát các sự vật khác nhau trên thực tiễn ta có thể đưa ra tập hợp “ba” trừu tượng có cùng đặc tính.

Tại sao tập hợp “ba” lại có cùng tính chất mà “tập hợp bốn người” lại không có cùng tính chất? Điểm chủ yếu của “ba” là có cùng tính chất có thể thiết lập đối ứng 1 – 1 giữa chúng: ba người chăn dắt ba con chó thành đối ứng giữa “tập hợp ba con người” với “tập hợp của ba con chó”. Ba người đọc ba quyển sách ta thiết lập đối ứng 1 – 1 giữa “tập hợp ba người” với “tập hợp của ba quyển sách”.

Theo phương thức tư duy này ta có thể mở rộng cho tập hợp vô hạn và thành lập lí luận “độ to nhỏ” của tập hợp vô hạn. Với hai tập hợp (hữu hạn hay vô hạn) ta có thể thiết lập sự đối ứng 1 – 2 ta nói hai tập hợp có cơ số như nhau. Nếu như một tập hợp có thể thiết lập mối quan hệ đối ứng 1 – 2 với một tập hợp khác thì người ta nói tập hợp thứ nhất có cơ số không lớn hơn tập hợp thứ hai. Từ khái niệm khá trừu tượng là “cơ số” ta có thể so sánh độ lớn nhỏ của cơ số. Cơ số chính là được suy rộng từ khái niệm phần tử của tập hợp hữu hạn cho tập hợp vô hạn.