Thế nào là nhóm số tam giác?

Trong bộ sách toán cổ nổi tiếng của Trung Quốc “Chu Bì toán kinh” ở chương I có nêu lên bộ số tam giác 3, 4, 5. Sở dĩ gọi là bộ số tam giác là ba chữ số này biểu diễn mối liên quan giữa hai cạnh của tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài tương ứng là 3, 4, 5. Ba số 3, 4, 5 là bộ số tam giác vì đó là ba số của các cạnh của góc vuông với cạnh huyền theo đúng định lí mà người ta thường gọi là định lí Pitago (Pythagore).

Ngoài ba số 3, 4, 5 còn có nhiều bộ ba số khác tuân theo định lí Pitago như: 5, 12, 13; 8, 15, 17 v.v… Các bộ ba số này thoả mãn phương trình x2 + y2 = z2; các số x, y, z thoả mãn phương trình này gọi là bộ số tam giác. Vì phương trình trên là phương trình có ba ẩn số, nên có vô số nghiệm, người ta gọi đây là loại phương trình vô định. Rõ ràng là nếu 3 số x, y, z là bộ số Pitago thì bộ ba số (kx, ky, kz) cũng là bộ số Pitago. Và nếu hai số x, y có ước số chung là d, thì d cũng là ước số của z. Nói cách khác bộ số Pitago nếu có ước số chung thì các ước số phải bằng nhau. Vì vậy khi xem xét ta chỉ chú ý đến các số nguyên tố cùng nhau.

Vậy các số trong bộ số Pitago có mối quan hệ gì với nhau không, hay nói cách khác, bộ số Pitago được cấu tạo như thế nào?

Vào thế kỉ thứ VI trước Công nguyên, nhà toán học cổ Hy Lạp Pitago đã đưa ra phương pháp: lấy một số lẻ tuỳ ý nâng lên luỹ thừa bậc hai rồi phân chia thành hai số sai khác nhau 1 đơn vị thì số thu được là một bộ ba số Pitago. Ví dụ lấy số 2x + 1, nâng lên luỹ thừa hai ta có 4×2 + 4x + 1, chia số vừa thu được thành hai số sai khác nhau 1 đơn vị là 2×2 + 2x và 2×2 + 2x + 1.

Vậy ba số 2x + 1, 2×2 + 2x và 2×2 +2x + 1 là một bộ số Pitago. Ví như bộ số 67, 2244 và 2245 là bộ số Pitago.

Vào thế kỉ thứ nhất sau Công nguyên, trong “Sách toán chín chương” còn đưa ra một phương pháp khéo léo hơn; ta chọn các số m, n thế thì (m2 – n2), mn và 1/2(m2 + n2) sẽ là một bộ số Pitago. Ví dụ m = 7, n = 3, ta có thể tính ra các số 20, 21, 29 là một bộ số Pitago;

Khi m = 5 và n = 3, ta tính ra 8, 15, 17. Vào thế kỉ thứ ba sau Công nguyên, nhà toán học Trung Quốc Lưu Huy đã chứng minh phương pháp này bằng phương pháp hình học.

Cũng vào thế kỉ III, nhà toán học cổ Hy Lạp Diophan đã đưa ra công thức:

Nếu chọn m = u/v, z = u2 + v2, ta sẽ nhận được các số 2uv, u2 – v2, u2 + v2. Bạn có thể tìm thấy công thức này chỉ khác công thức trong “Sách toán chín chương” ở hệ số 2, còn công thức Pitago cũng chính là trường hợp đặc biệt của công thức này. u = z + 1, v = z.

Vậy nếu tuỳ ý chọn hai số m, n hoặc u, v liệu có thể dùng công thức nêu trên để tính các bộ số Pitago được không? Đương nhiên là không. Vậy thêm điều kiện cho hai số m và n là chúng phải là các số nguyên tố cùng nhau. Với điều kiện đặt ra thì dùng công thức nêu trong “Sách toán chín chương” ta có thể tìm ra bộ số Pitago, vì vậy người ta gọi chúng là công thức chung để biểu diễn nghiệm của phương trình x2 + y2 = z2. Đương nhiên có thể dùng các công thức khác nhau để tính bộ số Pitago.

Quan sát kĩ bộ số tam giác ta thấy chúng có mối tương quan nhất định về tính chẵn lẻ của các số, ví dụ có thể là hai lẻ một chẵn. Như x, y, z là bộ số Pitago thì hai số x, y phải là số chẵn, một lẻ, thì z phải là số lẻ. Tại sao như vậy các bạn hãy tự suy nghĩ và chứng minh.

Từ khoá: Định lí tam giác; Bộ số tam giác.