Nước đựng trong thùng lăng trụ, chữ nhật khi để nghiêng sẽ có hình dạng thế nào?

Xin các bạn hãy đổ vào một thùng đựng hình lăng trụ chữ nhật một lượng nước có màu (để dễ nhìn thấy), hãy cố định thùng lăng trụ chữ nhật theo một cạnh đáy. Nghiêng từ từ thùng nước nhưng giữ không cho nước đổ ra ngoài. Tuỳ theo độ nghiêng của thùng, bạn sẽ thấy khối nước trong thùng có nhiều hình dạng khác nhau. Bạn hãy quan sát kĩ xem hình dạng khối nước thay đổi theo quy luật nào?

Trước hết ta để thùng đứng thẳng trên mặt bàn theo mặt đáy ABCD như ở hình 1. Bấy giờ mặt bên sẽ có dạng một hình chữ nhật BCFE. Thể tích của khối nước sẽ bằng diện tích mặt đáy BCFE nhân với chiều cao CD.

Tiếp theo ta cố định thùng và giữ đáy ABCD theo cạnh CD. Nghiêng thùng từ từ theo như vị trí cho ở hình vẽ bên dưới. Bấy giờ diện tích mặt bên BCFE sẽ là hình thang. Hình thang này có một cạnh đáy BE = a và một cạnh đáy là CF = b và a + b sẽ là một số không đổi. Bây giờ tiếp tục cho thùng nghiêng hơn nữa, nhưng vẫn giữ mặt bên có dạng hình thang thì tổng số a + b vẫn không thay đổi. Đồng thời khi a giảm bao nhiêu độ dài thì b tăng độ dài bấy nhiêu. Bạn có biết tại sao không?

Khối nước vẫn lấy BCFE làm đáy và CD làm chiều cao của hình lăng trụ tứ giác và thể tích khối nước sẽ là tích số của diện tích đáy nhân với chiều cao CD. Do diện tích hình thang không thay đổi, chiều cao CD cũng không thay đổi, cũng là thể tích nước như ở hình trên.

Nếu tiếp tục làm nghiêng thùng thì mặt bên sẽ có dạng hình tam giác ECF. Thể tích khối nước sẽ là hình lăng trụ đáy tam giác ECF và chiều cao CD. Thể tích khối nước vẫn là thể tích khối lăng trụ chữ nhật đáy chữ nhật BCFE hoặc đáy hình thang BCFE. Giả sử CE = c, CF = b, diện tích hình tam giác ECF là 1/2b x c và b x c là không thay đổi.

Khi nghiêng thùng thì khối nước thay đổi từ khối lăng trụ chữ nhật, đến lăng trụ đáy hình thang, rồi đến lăng trụ đáy tam giác, nhưng nếu không để nước chảy ra ngoài thì thể tích nước vẫn không thay đổi cho dù hình dáng khối nước có thay đổi (xem hình 1, 2, 3).

Vì sao thùng đựng dầu, phích đựng nước nóng đều có dạng hình trụ?

Thùng dầu, phích nước đều là các thùng, bình đựng chất lỏng.

Bạn có chú ý các đồ đựng chất lỏng đều có dạng hình trụ, điều này có liên quan gì đến toán học không?

Khi sản xuất các đồ đựng người ta thường chú ý đến việc tiết kiệm vật liệu: Với cùng một lượng vật liệu làm thế nào sản xuất được bình đựng chất lỏng với dung tích lớn nhất.

Ta đã biết trong hình học phẳng, trong các hình đa giác đều và hình tròn có cùng chu vi thì hình tròn có diện tích lớn nhất. Ví dụ với diện tích 100 mm2 thì hình vuông có chu vi 40 mm, hình tam giác đều chu vi 45,6 mm. Như vậy với cùng một diện tích thì tam giác đều có chu vi lớn nhất, hình vuông cho chu vi bé hơn và hình tròn có chu vi bé nhất. Vì vậy với các dụng cụ đựng chất lỏng, nếu các đồ đựng có cùng chiều cao thì lăng trụ tròn có dung tích lớn nhất, và việc sản xuất các lăng trụ tròn sẽ tốn ít nguyên liệu nhất. Do vậy các thùng đựng dầu, phích nước là những đồ đựng chất lỏng thường có dạng lăng trụ tròn.

Thế có loại bình đựng dạng nào tiết kiệm nguyên vật liệu hơn lăng trụ tròn không? Có. Đó chính là hình cầu. Với cùng một lượng vật liệu thì đồ đựng hình cầu sản xuất ra sẽ có dung tích lớn nhất. Nói cách khác sản xuất các đồ đựng chất lỏng hình cầu tiết kiệm được vật liệu nhiều nhất. Tuy nhiên, do các đồ đựng hình cầu dễ bị lăn đi, lăn lại, khó đứng yên; việc sản xuất các vật dụng hình cầu cũng khó hơn, khó đậy nắp hơn nên bình hình cầu không có ý nghĩa thực tế.

Tuy nhiên các đồ đựng vật rắn như hòm, rương sao lại không sản xuất có dạng hình trụ? Cho dù các đồ đựng hình trụ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhưng đựng các vật rắn lại không thuận tiện lắm nên người ta thường sản xuất chúng ở dạng khối lăng trụ chữ nhật.

Từ khoá: Lăng trụ tròn; Hình cầu.