BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Vietlearn

6 minutes

CHỦ ĐỀ 1.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM

Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trước khi đi vào các bài toán cụ thể.

1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số xác định trên K sao cho thì được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K.

Định lí 1. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của hàm số trên K.

Định lí 2. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì mọi nguyên hàm của trên K đều có dạng với C là hằng số.

Định lí 3. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm:

với C là hằng số.

với k là hằng số khác 0.

Bảng nguyên hàm

Chú ý: công thức tính vi phân của là

	Với u là một hàm số

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. B. C. D.

Giải:

Đặt , Ta có:

Đặt

Vậy

Chọn C.

Bài 2: Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. B. C. D.

Giải:

Vì nên

Nguyên hàm của: là: .

CHọn A.

Bài 3: Tìm một nguyên hàm của: biết nguyên hàm này bằng 3 khi .

A. B. C. . D. .

Giải:

Nguyên hàm của

Ta có:

Chọn C.

Bài 4: là nguyên hàm của:

A. . B. . C. . D. .

Giải:

Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng.

Ta có:

là một nguyên hàm của .

Chọn D.

Bài 5: Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. B. C. D.

Giải:

Chú ý nếu chúng ta biến đổi:

Kỷ niệm lần đi dạy gia sư đầu tiên

. Là sai

Điều sau đây mới đúng:

Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức về dạng như sau:

Chọn D.

CHỦ ĐỀ 2.

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN.

1. Định nghĩa

Cho hàm số thỏa:

+ Liên tục trên đoạn .

+ là nguyên hàm của trên đoạn .

Lúc đó hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu

Chú ý:

+ a, b được gọi là 2 cận của tích phân.

+ a = b thì

+ a > b thì .

+ Tích phân không phụ thuộc và biến số, tức là .

2. Tính chất của tích phân:

+ .

+ với k là hằng số khác 0.

+ .

Chú ý:

Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức .

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Một lần nữa xin nhắc lại rằng đây là cuốn sách đề cập đến các bài toán vận dụng và vận dụng cao nên trước khi sử dụng sách này quý bạn đọc cần có kiến thwucs cơ bản tốt. Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu các bài toán tích phân khá khó:

Bài 1: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau: và thì: