CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp 
và 
được gọi là một điểm cực đại của hàm số 
nếu tồn tại một khoảng 
chứa điểm 
sao cho: 
.
Khi đó 
được gọi là giá trị cực đại của hàm số 
.
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 
nếu tồn tại một khoảng 
chứa điểm 
sao cho: 
.
Khi đó 
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số 
.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu 
là một điểm cực trị của hàm số 
thì ngư=ời ta nói rằng hàm số 
đạt cực trị tại điểm 
.
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp 
Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số.
Chú ý.
a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) của hàm số f chưa hẳn đã là GTLN (GTNN) của hàm số f trên tập xác định D mà f(x0) chỉ là GTLN (GTNN) của hàm số f trên khoảng (a,b) 
D và (a;b) chứa x0 .
b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D của hàm số f thì hàm số f không có cực trị .
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số 
đạt cực trị tại điểm 
. Khi đó , nếu 
có đạo hàm tại điểm 
thì 
.
Chú ý :
Đạo hàm 
có thể triệt tiêu tại điểm 
nhưng hàm số 
không đạt cực trị tại điểm 
.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 
, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số 
liên tục trên khoảng 
chứa điểm 
và có đạo hàm trên các khoảng 
và 
. Khi đó :
Nếu 
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
.
Nếu 
thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
.
Định lý 3: Giả sử hàm số 
có đạo hàm cấp một trên khoảng 
chứa điểm 
, 
và 
có đạo hàm cấp hai khác 
tại điểm 
.
Nếu 
thì hàm số 
đạt cực đại tại điểm 
.
Nếu 
thì hàm số 
đạt cực tiểu tại điểm 
.
Chú ý :
1. Nếu 
là một điểm cực trị của hàm số 
thì điểm 
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số 
.
2. Trong trường hợp 
không tồn tại hoặc 
thì định lý 3 không dùng được.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.
Phương pháp giải
Tìm tập xác định D của hàm số f.
Tính f’(x).
Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x0 
D mà tại đó hàm f liên tục nhưng f’(x0) không tồn tại.
Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý 3 (tính f’’(x)) để xác định điểm cực trị của hàm số.
Chú ý: Cho hàm số 
xác định trên D.
Điểm 
là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:
Tại 
đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại
Đạo hàm đổi dấu khi 
đi qua 
.
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. 
2. 
Lời giải.
1. Tập xác định : 
Ta có: 
, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị.
Giới hạn : 
Bảng biến thiên
2. Tập xác định : 
Ta có: 
, 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại 
,hàm số đạt cực tiểu tại 
.
Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. 
2. 
Lời giải.
1. Tập xác định : 
Ta có: 
, 
.
Giới hạn : 
;
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại 
và 
,hàm số đạt cực đại tại 
và 
.
2. Tập xác định : 
Ta có: 
, 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại 
và 
,hàm số đạt cực đại tại 
và 