KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
* Xét chiều biến thiên của hàm số :
+ Tính đạo hàm y’;
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định ;
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số
* Tìm cực trị
* Tìm các giới hạn tại vô cực ,các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có )
* Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên )
3. Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm (bước này chỉ thực hiện với hàm bậc ba )
+ Tính y’’
+ Giải phương trình y’’=0
+ Lập bảng xét dấu y’’
4. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ
CHÚ Ý.
-
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì ,sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
- Nên tính thêm toạ độ một số điểm ,đặc biệt là giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
- Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
HÀM SỐ BẬC BA : 
1. Tập xác định: 
2. Đạo hàm: 
, 
: Hàm số có 2 cực trị.
: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên 
.
3. Đạo hàm cấp 2: 
, 
là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
4. Giới hạn: Nếu 
thì: 
Nếu 
thì: 
5. Bảng biến thiên và đồ thị:
Trường hợp 
:
* 
: Hàm số có 2 cực trị
* 
: Hàm số luôn tăng trên 
.
Trường hợp 
:
* 
: Hàm số có 2 cực trị.
* 
: Hàm số luôn giảm trên 
.
Một số tính chất của hàm số bậc ba
1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: 
.
2. Hàm số luôn đồng biến trên 
3. Hàm số luôn nghịch biến trên 
4. Để tìm giá cực trị ta lấy 
chia cho 
: 
Nếu 
là hai nghiệm của 
thì: 
Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị là 
.
5. Đồ thị luôn có điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị.
6. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.
7. Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt 
đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox.
8. Đồ thị cắt Ox tại một điểm 
hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu.
9. Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn. Cho 
* Nếu 
thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua 
và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( nếu 
), lớn nhất (nếu 
).
* Nếu 
khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua 
.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số:
1. 
2. 
3. 
Lời giải.
1. Tập xác định : 
- Chiều biến thiên :
hoặc 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
, đồng biến trên khoảng 
.
Hàm số đạt cực đại tại điểm 
; giá trị cực đại của hàm số là 
.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
; giá trị cực tiểu của hàm số là 
-
Giới hạn của hàm số tại vô cực : 
- Bảng biến thiên :
|
x |
-¥ 0 2 +¥ |
|
y’ |
– 0 + 0 – |
|
y |
-4 -¥ |
+¥ 0- Đồ thị :
-
- Cho
- Cho
2. Tập xác định : 
- Chiều biến thiên:
; 
hoặc 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
, đồng biến trên khoảng 
.
Hàm số đạt cực đại tại điểm 
; giá trị cực đại của hàm số là 
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
; giá trị cực tiểu của hàm số là 
.
-
Giới hạn của hàm số tại vô cực: 
Bảng biến thiên:
- Đồ thị :
Cho 
3. Tập xác định: 
Chiều biến thiên:
- Giới hạn của hàm số tại vô cực:
- Ta có:
- Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Hàm số đồng biến trên khoảng 
,
hàm số không có cực trị .
-
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị : Cho
Ví dụ 2. Cho hàm số 
có đồ thị ( C )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số;
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 
Lời giải.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:
- Tập xác định:
- Chiều biến thiên :
Ta có : 
hoặc 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 
và 
, đồng biến trên khoảng 
.
Hàm số đạt cực đại tại điểm 
; giá trị cực đại của hàm số là 
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
; giá trị cực tiểu của hàm số là 
-
Giới hạn của hàm số tại vô cực : 
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị :
Cho x = -1 Þ y = 5;
x = 3 Þ y = 1.
2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 
có dạng :
