PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1. Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ chỉ phương :

Nếu đều khác không. Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:

Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là:

với thỏa

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Chương trình cơ bản	Chương trình nâng cao
1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian  cho hai đường thẳng Vtcp  đi qua  và  có vtcp  đi qua ·  cùng phương: ·  không cùng phương: · d chéo d’  hệ phương trình  vô nghiệm · d cắt d’  hệ phương trình  có 1 nghiệm	1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian  cho hai đường thẳng Vtcp  đi qua  và  có vtcp  đi qua · · · ·

 

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp 1	Phương pháp 2
Trong không gian  cho:  và Pt: · Phương trình  vô nghiệm thì · Phương trình  có 1 nghiệm thì  cắt · Phương trình  có vô số nghiệm thì Đặc biệt:  cùng phương	Trong không gian  cho đường thẳng d qua  có vtcp:  và  có vtpt ·  cắt · ·  nằm trên mp

4. Khoảng cách

Khoảng cách từ  đến mặt phẳng cho bởi công thức
Khoảng cách từ M đến đường thẳng Phương pháp 1: · Lập ptmp  đi qua  và vuông góc với d. · Tìm tọa độ giao điểm  của mp  và · Ø Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1:  đi qua ; có vtpt  đi qua ; vtpt Lập phương trình mp  chứa d và song song với d’:	Ø Khoảng cách từ M đến đường thẳng Phương pháp 2: (  đi qua  có vtcp  ) Ø Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2:  đi qua ; có vtpt  đi qua ; vtpt

5. Góc giữa hai đường thẳng

Ø Góc giữa hai đường thẳng

đi qua có VTCP

đi qua có VTCP

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đi qua có VTCP , mặt phẳng có VTPT

Gọi là góc hợp bởi và mặt phẳng

B – CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTCP của nó.

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua và có vtcp :

hoặc

 

Dạng 2. Đường thẳng đi qua và :

· Đường thẳng đi qua (hoặc ) có vtcp

· Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng .

Dạng 3. Đường thẳng qua và song song

· Đường thẳng đi qua và có vtcp

· Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng .

Dạng 4. Đường thẳng qua và vuông góc mp

· Đường thẳng đi qua và có vtcp

· Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng .

Dạng 5. Đường thẳng qua và vuông góc 2 đường thẳng và :

· Đường thẳng đi qua và có vtcp

· Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng .

Dạng 6. Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng :

· Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp.

– Tìm toạ độ một điểm Î : Bằng cách giải hệ phương trình

(với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại)

– Tìm một vtcp của :

· Cách 2: Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng 7. Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng :

· Vì ^ , ^ nên một vtcp của là:

· Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng .

Dạng 8. Đường thẳng đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .

· Cách 1: Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng D

Ta có

Khi đó đường thẳng là đường thẳng đi qua (trở về dạng 2).

· Cách 2: Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với ; là mặt phẳng đi qua và chứa

. Khi đó (trở về dạng 6).

· Cách 3: Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với

– Tìm điểm

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (quay về dạng 2).

Dạng 9. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc và cắt đường thẳng

· Tìm giao điểm của và

· Vì

Dạng 10. Đường thẳng qua và cắt :

· với mp chứa và ; mp chứa và (trở về dạng 6)

Dạng 11. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng :

· Tìm các giao điểm Khi đó chính là đường thẳng (về dạng 2).

Dạng 12. Đường thẳng và cắt :

· Viết phương trình mặt phẳng chứa và , mặt phẳng chứa và

Khi đó (trở về dạng 6).

Dạng 13. Đường thẳng qua và , cắt :

· Cách 1:

– Viết phương trình mp qua và vuông góc với

– Tìm

– Khi đó chính là đường thẳng AB (về dạng 2).

· Cách 2:

– Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với

– Viết phương trình mặt phẳng chứa và

– Khi đó . (trở về dạng 6)

· Cách 3:

– Viết phương trình tham số của đường thẳng (nếu chưa có).

– Tìm điểm ( có tọa độ theo tham số ) thỏa mãn

Giải phương trình tìm được

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm .

Dạng 14. Đường thẳng cắt :

· Tìm mp chứa chứa

· (trở về dạng 6).

Dạng 15. Đường thẳng là hình chiếu của lên :

· Cách 1:

– Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với .

– Đường thẳng là giao tuyến của và (trở về dạng 6).

· Cách 2:

– Xác định là giao điểm của và .

– Lấy điểm trên . Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với .

– Tìm tọa độ điểm là giao điểm của với .

– Đường thẳng chính là đường thẳng (trở về dạng 2).

Đặc biệt: Nếu song song thì là đường thẳng đi qua và song song với .

Dạng 16. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và :

· Cách 1:

– Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tham số và xác định lần lượt là vtcp của .

– Lấy lần lượt thuộc (tọa độ phụ thuộc vào tham số).

– Giả sử là đường vuông góc chung. Khi đó:

Giải hệ phương trình tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được .

– Viết phương trình đường vuông góc chung .

· Cách 2:

– Vì d ^ d₁ và d ^ d₂ nên một vtcp của là:

– Lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và , bằng cách:

+ Lấy một điểm trên .

+ Một vtpt của là:

– Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và .

Khi đó (trở về dạng 6).

· Cách 3:

– Vì và nên một vtcp của là:

– Lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và , bằng cách:

+ Lấy một điểm trên .

+ Một vtpt của là:

– Tìm . Khi đó viết phương trình qua có vtcp .

CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng 1. Tìm là hình chiếu của trên đường thẳng

· Cách 1:

– Viết phương trình mp qua và vuông góc với : ta có

– Khi đó: tọa độ là nghiệm của hpt: và .

· Cách 2:

– Đưa về dạng tham số. Điểm được xác định bởi:

Dạng 2. Điểm đối xứng với qua đường thẳng :

· Cách 1:

– Tìm hình chiếu của trên

– Xác định điểm sao cho là trung điểm của đoạn (công thức trung điếm).

· Cách 2:

– Gọi là trung điểm của đoạn . Tính toạ độ điểm theo toạ độ của (công thức trung điếm).

– Khi đó toạ độ của điểm được xác định bởi: .

Dạng 3. Đường thẳng đối xứng đường thẳng qua mặt phẳng

· TH1:

– Xác định là giao điểm của và

– Lấy điểm ( bất kỳ). Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua .

– Đường thẳng chính là đường thẳng .

· TH2:

– Lấy điểm ( bất kỳ). Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua .

– Đường thẳng chính là đường thẳng qua và song song .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đường thẳng song song với và cắt cả hai đường thẳng và . Phương trình nào không phải đường thẳng

A. B.

C. D.

Câu 2: Cho đường thẳng và mp (P) : . Tìm phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).

A. B. C. D.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt và vuông góc với đường thẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng nằm trong sao cho vuông góc với và khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. .

C. . D.

Câu 5: Cho hai điểm và mặt phẳng . Đường thẳng nằm trên sao cho mọi điểm của cách đều 2 điểm có phương trình là

A. B. C. D.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Gọi là giao điểm của Tìm sao cho vuông góc với và

A. . B. .

C. . D. .

Câu 7: Trong không gian cho hai mặt phẳng Viết phương trình của đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc bằng