Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai – Học Toán 9

Ví dụ 1. Giải phương trình |x – 3| = 2x + 1. (3)

Cách giải:

Cách 1

a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = –4.

Giá trị x = –4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành –x + 3 = 2x + 1. Từ đó

Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 23

Cách 2.

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

(3) => (x – 3)2 = (2x + 1)2

=> x2 – 6x + 9 = 4×2 + 4x + 1

=> 3×2 + 10x – 8 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = –4 và

Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

Ví dụ 2. Giải phương trình = x – 2 (4).

Cách giải

Điều kiện của phương trình (4) là

Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4) => 2x – 3 = x2 – 4x + 4

=> x2 – 6x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – √2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm (hai vế cùng bằng √2 + 1).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x= 3 + √2.

Giải phương trình quy về phương trình bậc hai chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình quy về phương trình bậc hai chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

Phương trình đưa về dạng phương trình tích

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Bước 1. Tìm điều kiện xác định (nếu có)

Bước 2. Đặt ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn mới