Thế nào là định lí lớn Ferma?

Chúng ta đều biết phương trình x2 + y2 = z2có vô số nghiệm khác không.

Ví dụ bộ ba số gọi là bộ số tam giác thời Trung Quốc cổ đại có cạnh góc vuông là 3, 4, đường huyền là 5 là nghiệm của phương trình x = 3; y = 4, z = 5.

Vấn đề đặt ra là liệu bài toán mở rộng xn + yn = zn khi n > 2 có nghiệm khác 0 hay không? Nghiệm khác 0 ý nói cả ba x, y, z đều phải khác 0. Nếu không chỉ cần ví dụ x = 0 thì y=z có thể nghiệm đúng với bất kì số nguyên nào.

Ferma, nhà toán học Pháp vào thế kỉ XVII đã từng nghiên cứu vấn đề này. Ferma là một luật sư nổi tiếng đồng thời là nhà toán học. Tuy ông chưa hề được học môn toán một cách chính quy nhưng ông có niềm ham thích toán học và có những sáng tạo phi phàm. Ferma có thói quen là khi đọc sách ông thường ghi những nhận xét của mình ở bên lề và các chỗ giấy trắng trong sách. Khi ông qua đời, con ông đã xem lại các bút tích và thư từ của cha để lại và tìm thấy ở một góc trang có ghi “Không thể một số mà khi nâng lên luỹ thừa bậc ba lại bằng tổng luỹ thừa bậc ba của hai số khác. Không có một số mà luỹ thừa bậc bốn lại bằng tổng luỹ thừa bậc bốn của hai số khác. Nói chung không thể tìm được một số mà khi nâng lên luỹ thừa lớn hơn 2 lại bằng tổng luỹ thừa cùng bậc của hai số khác. Tôi đã có một chứng minh đầy đủ và tuyệt đẹp về mệnh đề này nhưng tiếc rằng không đủ chỗ giấy trống để viết ra được”. Như vậy theo cách nói của Ferma thì phương trình xn + yn = zn với n > 2 không có nghiệm khác không. Các nhà toán học đương thời đều tin Ferma có thể chứng minh được kết luận này gọi đó là “định lí Ferma lớn”.

Nhiều nhà toán học cẩn thận không hoàn toàn tin cậy vào các ghi chú của Ferma nên họ hết sức tìm hiểu sâu hơn và mong tìm lại được các “chứng minh tuyệt đẹp và đầy đủ của Ferma”. Thế nhưng trải qua 300 năm vấn đề tưởng như đơn giản đã làm điên đảo các nhà toán học kiệt xuất trong đó có cả Euler, Dirichlet, Legendre, v.v… là những người mà tên tuổi của họ đã lừng danh trên các tác phẩm về toán học. Nhưng công sức của họ bỏ ra không phải là vô ích. Năm 1770, Euler chứng minh với n =3 và n = 4, định lí Ferma là đúng. Năm 1825, Dirichler và Legendre chứng minh với n = 5 thì kết luận chính xác.