Từ một đôi thỏ ban đầu sẽ sinh được bao nhiêu đôi thỏ nữa trong một năm?
Mời các bạn xem xét nhóm số dưới đây: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.
Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi, mỗi con số trong dãy số được gọi là số hạng Phibônaxi.
Phibônaxi là nhà toán học Italia, vào thời trung cổ. Sau khi đi du lịch ở phương Đông ông đã viết một quyển sách toán “Sách toán pháp”. Trong sách có đưa ra một bài toán về khả năng sinh đẻ của một đôi thỏ: Nếu mỗi đôi thỏ trong một tháng sinh được một đôi thỏ con, mà mỗi đôi thỏ mới sinh sau khi sinh được ba tháng sẽ lại đẻ được một đôi thỏ mới. Giả sử không có tử vong của thỏ trong thời gian đang xét, như vậy một đôi thỏ mới sinh thì sau một năm sản sinh được bao nhiêu đôi thỏ mới?
Giả thiết tháng 12 năm trước, đôi thỏ non ra đời. Vào tháng 1 năm mới vẫn chỉ có một đôi thỏ. Đến tháng 2, đôi thỏ này lại sinh một đôi thỏ mới, tổng cộng có hai đôi. Đến tháng 3, đương nhiên chỉ có đôi thỏ sinh vào tháng 12 năm trước sinh một đôi thỏ mới, nên tổng cộng vào tháng 3 ta có ba đôi thỏ. Đến tháng 4, đôi thỏ ở độ tuổi hai tháng sẽ sinh một đôi thỏ mới, vì vậy có hai đôi thỏ mới sinh, thêm vào ba đôi thỏ đã có nên vào lúc này ta có tất cả là năm đôi thỏ. Đến tháng 5 lại có đôi thỏ sinh vào tháng 3 lại sinh một đôi thỏ mới, nên có ba đôi thỏ mới sinh thêm vào năm đôi thỏ vốn có, vậy vào tháng 5 ta có tất cả là tám đôi thỏ. Cứ suy luận tính toán liên tiếp như đã trình bày ở trên, ta sẽ có số các đôi thỏ mới sinh sẽ theo đúng dãy số Phibônaxi và ở số hạng thứ 13, số đôi thỏ sẽ là 233 đôi. Như vậy ta đã tìm được lời giải cho bài toán đã nêu trên.
Nghiên cứu dãy số ta sẽ tìm thấy quy luật tạo nên dãy số: Con số đứng sau bằng tổng hai số liên tiếp trước đó. Dùng phương pháp quy nạp toán học ta có thể tính được số hạng thứ (m + n) của dãy số theo công thức am+n = am-1.an + am.an+1
Dùng quy tắc này ta có thể tính số hạng bất kì của dãy số Phibônaxi. Ví dụ khi cần tính số hạng thứ 25 là a25. Ta đặt m = 13, n = 12. Từ đó ta có: a13+2 = a13.1.a12 + a13.a12+1 = = 1442 + 2332 = 75025
Bạn hãy thử tính số hạng a24
Từ khoá: Dãy số Phibônaxi; Số hạng Phibônaxi.