Ứng dụng đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

Vietlearn

9 minutes

Trong khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ đề cập những bài tập thường gặp. Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ về ứng dụng đơn điệu trong việc giải phương trình…, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số – lượng giác.

Phương pháp .

Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng f(x) = g(m) ,

f(x) > g(m),…Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán.

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy

Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên D thì :

và .

Nếu hàm số liên tục và nghịch biến trên D thì :

và .

Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức và các bài toán giải phương trình, bất phương trình. Cụ thể ta có các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên thì số nghiệm của phương trình : (trên ) không nhiều hơn một và .

Chứng minh: Ta giả sử là hàm đồng biến trên

Nếu

Tính chất 2: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : không nhiều hơn một.

Chứng minh: Giả sử đồng biến còn nghịch biến trên và .

* Nếu vô nghiệm

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình .

Tính chất 3: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) trên thì .

Tính chất 4: Cho hàm số liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng liên tục . Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .

Chứng minh:

Giả sử phương trình vô nghiệm trên .

Khi đó (hoặc ).

Suy ra (hoặc ).

Điều này trái với giả thiết .

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên .

Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu phương trình có m nghiệm thì phương trình có nghiệm.

Hệ quả 2: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp k liên tục trên . Nếu phương trình có đúng m nghiệm thì phương trình có nhiều nhất là nghiệm.

Thật vậy: Giả sử phương trình có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán.

Từ hệ quả 2 nếu có một nghiệm thì có nhiều nhất hai nghiệm.

Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi theo hai hướng sau:

Hướng 1: Đưa phương trình về dạng , trong đó là một hàm số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét.

Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f.

Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm.

Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình ta thực hiện như sau

Bước 1: Nhập biểu thức (Dùng phím ALPHA+ X)

Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của X (nhập giá trị bất kì) =.

Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý

*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến

* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến.

* Nếu hàm số đồng biến thì là hàm số đồng biến.

* Nếu hàm số đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số là một hàm nghịch biến.

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: , trong đó là các hàm theo x.

Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán ngược nhau.

Chú ý 1:

Ký hiệu là một đoạn,một khoảng hoặc một nửa khoảng.

Nếu liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất một nghiệm .

Nếu liên tục và đơn điệu trên thì phương trình có không quá một nghiệm trên .

Chú ý 2:

Nếu liên tục và tăng trên , liên tục và giảm (hoặc là hàm hằng) trên thì phương trình có không quá một nghiệm trên .

Nếu phương trình có nghiệm trên khoảng thì phương trình có không quá nghiệm trên khoảng .

“Băng khô” có phải là băng không?

Tổng của hàm tăng trên là một hàm tăng trên , tổng của hàm giảm trên là một hàm giảm trên .

Nếu là hàm tăng trên thì tăng trên nếu và giảm trên nếu .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình:

1. Đề thi Cao đẳng năm 2012

3. Đề thi Đại học khối B năm 2010

Lời giải.

1. Điều kiện: .

Phương trình đã cho tương đương với:

Xét hàm số: trên .

Ta có: , suy ra đồng biến trên

Do đó

2. Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức dưới dấu căn hơn kém nhau 1. Do đó nếu ta đặt đặt thì phương trình đã cho trở thành: .