VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán
· Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
· Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: 
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: 
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A¢B¢C¢D¢, ta có: 
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có: 
; 
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: 
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ 
, trong đó 
không cùng phương. Khi đó: 
đồng phẳng Û $! m, n Î R: 
· Cho ba vectơ 
không đồng phẳng, 
tuỳ ý.
Khi đó: $! m, n, p Î R: 
3. Tích vô hướng của hai vectơ
· Góc giữa hai vectơ trong không gian:
· Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho 
. Khi đó: 
+ Với 
. Qui ước: 
+ 
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
– Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n Î R: 
thì 
đồng phẳng
+ Để phân tích một vectơ 
theo ba vectơ 
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: 
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở 
. Vì vậy để tính độ dài của đoạn 
ta thực hiện theo các bước sau:
– Chọn ba vec tơ không đồng phẳng 
so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
– Phân tích 
– Khi đó 
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
· 
là bốn điểm đồng phẳng 
· 
là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm 
bất kì ta có 
trong đó 
.
B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình lăng trụ 
, 
là trung điểm của 
. Đặt 
, 
, 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích như sau:
.
Câu 2: Trong không gian cho điểm 
và bốn điểm 
, 
, 
, 
không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để 
, 
, 
, 
tạo thành hình bình hành là
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để 
là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm 
bất kì khác 
, 
, 
, 
, ta có:
.
Câu 3: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình bình hành. Đặt 
; 
; 
; 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi 
là tâm của hình bình hành 
. Ta phân tích như sau:
(do tính chất của đường trung tuyến)
.
Câu 4: Cho tứ diện 
. Gọi 
và 
lần lượt là trung điểm của 
và 
. Đặt 
, 
, 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta phân tích:
(tính chất đường trung tuyến)
.
Câu 5: Cho hình hộp 
có tâm 
. Gọi 
là tâm hình bình hành 
. Đặt 
, 
, 
, 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích:
.
.
.
.
Câu 6: Cho hình hộp 
. Gọi 
và 
lần lượt là tâm của hình bình hành 
và 
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. 
.
B. Bốn điểm 
, 
, 
, 
đồng phẳng.
C. 
.
D. Ba vectơ 
; 
; 
không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A đúng do tính chất đường trung bình trong 
và tính chất của hình bình hành 
.
B đúng do 
nên bốn điểm 
, 
, 
, 
đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
.
D sai do giá của ba vectơ 
; 
; 
đều song song hoặc trùng với mặt phẳng 
. Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện 
. Người ta định nghĩa “ 
là trọng tâm tứ diện 
khi 
”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. 
là trung điểm của đoạn 
( 
, 
lần lượt là trung điểm 
và 
).
B. 
là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của 
và 
.
C. 
là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của 
và 
.
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta gọi 
và 
lần lượt là trung điểm 
và 
.
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
là trung điểm đoạn 
.
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
Câu 8: Cho tứ diện 
có 
là trọng tâm tam giác 
. Đặt 
; 
; 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi 
là trung điểm 
.
Ta phân tích:
.