Vì sao con “mã” lại có thể đi đến vị trí bất kì trên bàn cờ tướng?

Trong bàn cờ tướng Trung Quốc con “mã” đi theo quy tắc là nhảy đến đỉnh đối diện của chữ nhật. Liệu con “mã” có thể đi đến vị trí bất kì trên bàn cờ không? Câu kết luận là “có”, có thể chứng minh khá đơn giản.

Hiển nhiên chỉ cần con “mã” đi đến được hai vị trí ở cạnh nhau trên bàn cờ. Như trên hình 1 giả định vị trí ban đầu của con “mã” tại điểm A, ta cần đưa con mã đến vị trí B cạnh đó. Chúng ta có thể thấy A hoặc B ở trên khu vực một chữ điền ⽥ trên bàn cờ. Ta có thể chứng minh con “mã” có thể dựa theo quy tắc đi nhảy trong phạm vi chữ điền đã chọn là có thể đến được điểm B ở lân cận A. Các khu vực có thể được chọn là một trong hai khu vực đối xứng như ở hình 1 và hình 2. Con mã từ A đi đến B ở hình 1 hoàn toàn giống như ở hình 2, vì vậy ta chỉ cần xét trường hợp như hình 1.

Ta có thể dùng hệ toạ độ vuông góc. Giả sử toạ độ của A được biểu diễn A (0,0) đi đến điểm B (0,1) ta có thể dùng ba nước đi A (0,0) → (1,2) →(2,0) → B (0,1).

Điều đó chứng minh kết luận đã nêu trên.

Như vậy vấn đề đặt ra đã được trả lời. Như vậy từ phương pháp đơn giản là dùng hệ toạ độ vuông góc để giải quyết bài toán, ta có thể biến vấn đề cho dù nhìn qua khá phức tạp thành vấn đề có thể giải quyết được bằng biện pháp đơn giản.

Cần bao nhiêu phép thử để tìm được một phế phẩm trong 81 sản phẩm sản xuất ra?

Có 81sản phẩm được sản xuất ra nhưng trong đó có một sản phẩm có vết rỗng bằng hạt cát nên trở thành phế phẩm, cần phải tìm ra phế phẩm đó. Đương nhiên là nhìn bằng mắt thường người ta không thể nhận ra phế phẩm đó, do vết rỗng ở bên trong phế phẩm, nên phế phẩm sẽ nhẹ hơn chính phẩm. Như vậy ta có thể dùng cách cân để tìm ra phế phẩm. Nhưng vấn đề đặt ra là phải thực hiện bao nhiêu phép cân thì mới tìm được phế phẩm.

Phương pháp kiểm tra chung là bỏ hai sản phẩm vào hai đĩa cân, nếu cân không bị lệch thì đó là hai chính phẩm, nếu không thì vật nhẹ hơn sẽ là phế phẩm. Như vậy với lần cân đầu tiên ta có thể phát hiện được là có phế phẩm hay không? Nếu như có ba sản phẩm ta có thể phát hiện ra phế phẩm với một lần cân. Bởi vì nếu chỉ có ba vật phẩm mà nếu có một phế phẩm thì khi đặt hai vật phẩm lên cân nếu cân thăng bằng thì phế phẩm là vật chưa đưa lên cân, còn nếu cân bị lệch thì phế phẩm là vật nhẹ hơn.