Vì sao hai số hơn nhau không quá 2n lần trong 2n + 1 số tự nhiên khác nhau nhất định có hai số nguyên tố cùng nhau?

Câu trả lời đơn giản nhất là trong n + 1 số tự nhiên lớn hơn nhau không quá 2n lần nhất định sẽ có hai số cạnh nhau, hai số cạnh nhau tất nhiên phải là các số nguyên tố cùng nhau. Hai số cạnh nhau nếu có ước số chung là p thì p nhất định phải bằng 1. Thế tại sao trong n + 1 số tự nhiên không lớn hơn nhau quá 2n lần nhất định phải có hai số cạnh nhau? Theo điều kiện đặt ra trong tập hợp từ các số tự nhiên số các số nguyên tố phải nhỏ hơn hoặc cùng lắm là bằng 2n. Vả lại trong tập hợp không có các số cạnh nhau thì số các số nguyên tố tối đa chỉ là n. Ví dụ các tập hợp không có các số cạnh nhau là các tập hợp: {1, 3, 5, …2n – 1} hoặc {2, 4, 6, …2n}. Nếu ta lại thêm vào các tập hợp trên một số nào đó theo thứ tự các số tự nhiên thì tất nhiên phải là số cạnh nhau của n + 1 số trong mỗi tập hợp và tập hợp mới sẽ là tập hợp có các số cạnh nhau. Người chứng minh luận đề này là nhà toán học Hungari Potard lúc ông mới 12 tuổi.

Bài toán “Hàn Tín điểm binh” là thế nào?

Bài toán “Hán Tín điểm binh” là một trò chơi dự đoán số thú vị. Giả sử bạn cầm trong tay một số lá cờ (trên dưới 100 lá), trước hết bạn chập thành nhóm 3 lá, sẽ còn số dư khi số còn lại không đủ 3 lá ; sau đó lại chập thành nhóm 5 lá ghi lấy số dư ở nhóm không đủ 5; cuối cùng chập thành các nhóm có 7 lá, ghi lấy số ở nhóm không đủ 7 lá. Dựa vào số lá cờ dư ở các nhóm người ta có thể đoán số lá cờ đã có.

Ví dụ: Khi chập 3 dư 1 lá, chập 5 dư 2 lá, chập 7 dư 1 lá, vậy có bao nhiêu lá cờ?

Phương pháp giải khá đơn giản và ngay từ thời cổ đại ở Trung Quốc đã có lời giải. Vào thời nhà Tống Chu Mật gọi là “Bài toán Quỉ cốc” hoặc “Toán Cách tường”, Dương Huy gọi là “bài toán chém ống” nhưng tên gọi bài toán “Hàn Tín điểm binh” là tên gọi phổ biến nhất. Cách giải được trình bày trong quyển sách toán cổ “Tôn tử toán kinh”. Về sau, Tần Cữu Thiều thời nhà Tống đã cải tiến và phổ biến rộng rãi với tên “Thuật toán Đại diễn” (giảng giải về cách tính toán). Đó chính là nội dung mà trong lịch sử toán học người ta gọi là định lí “thặng dư Trung Quốc”, một bài toán khá nổi tiếng.