Vì sao trong cuộc sống hằng ngày người ta lại dùng hệ đếm thập phân?

Số tự nhiên được ra đời một cách hết sức “tự nhiên”. Từ thời xa xưa nhân dân lao động cần đếm số súc vật bắt được “1, 2, 3, 4,…” dần dần xuất hiện số tự nhiên. Thế nhưng làm thế nào để gọi tên và ghi lại từng số tự nhiên riêng biệt thì lại là vấn đề không tự nhiên chút nào.

Khi người ta nhận biết các số đến “10” và dùng các tên gọi và ghi từng số riêng biệt thì là việc không khó lắm. Thế nhưng khi người ta biết đếm đến số “trăm”, “ngàn”, “vạn” thì nếu cứ theo cách cũ mà gọi tên chúng là “một trăm cái, một ngàn cái, một vạn cái và dùng các kí hiệu riêng biệt để ghi lại thì hầu như trở nên không thể được. Đã không ít người lao tâm khổ tứ tìm cách gọi tên và tìm các kí hiệu để ghi lại, thì ngay bản thân họ cũng không nhớ và ghi được chính xác các kí hiệu đó, chưa nói là dùng chúng trong việc tính toán. Trong tình hình đó việc tìm ra cách ghi và gọi tên theo cách thức “hệ đếm theo cơ số” là một phát minh vĩ đại.

Theo ngôn ngữ toán học hiện đại, hệ đếm theo cơ số là nếu chọn trước một số tự nhiên p > 1 và nếu có một số tự nhiên A thoả mãn điều kiện pn ≤ A ≤ pn+1, ta có thể biểu diễn A dưới dạng:

A = a0 + a1p + a2p2 + a3pn (an ≠ 0). trong đó 0 ≤ ai ≤ p

Vì p quyết định bước tiến của dãy số nên người ta gọi p là cơ số của hệ đếm. Nếu chọn trước p số tự nhiên và ghi theo thứ tự từ 0 đến p-1, trong đó p là cơ số của hệ đếm tự nhiên thì ta có thể dùng phương pháp “ghi số theo vị trí” và số A đã cho ở trên có thể viết thành A = anan-1 …a1a0, trong đó ai là một trong p kí hiệu đã chọn.

Phương pháp “ghi theo vị trí” được phát minh sớm nhất ở Trung

Quốc, là một trong những cống hiến quan trọng của các nhà toán học cổ Trung Quốc.

Cách mô tả vừa trình bày trên đây quả thực không dễ hiểu lắm.

Thế nhưng các bạn hãy tưởng tượng p được chọn là 10. Bây giờ chúng ta dùng các con số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là các kí hiệu các chữ số từ 0 đến 10. Dùng các chữ số này ta có thể ghi bất kì số tự nhiên nào theo phương pháp “ghi theo vị trí”. Ví dụ với số 347804, thực tế đây chính là số: 4 + 0 × 10 + 8 × 102 + 7 × 103 + 4 × 104 + 3 × 105