Vì sao “thanh gỗ dài 1 m, mỗi ngày lấy một nửa” sẽ muôn đời không lấy hết?

Thời Chiến Quốc ở Trung Quốc, Công Tôn Long đã đưa ra một câu nói quan trọng “Thanh gỗ dài 1 thước, mỗi ngày lấy đi một nửa, muôn đời không lấy hết được”.

Câu nói đó có nghĩa gì?

Thanh gỗ dài 1 thước, ngày thứ nhất lấy đi một nửa sẽ còn lại 1/2, ngày thứ hai lại lấy tiếp 1/2 phần còn lại tức lấy đi 1/2 x 1/2 = 1/4 thước…cứ tiếp tục như thế sẽ tiếp tục lấy 1/8 thước… tất cả sẽ thành chuỗi số.

Rõ ràng khi n tăng đến vô hạn thì 2n sẽ lớn đến vô hạn còn 1/2n giảm nhỏ đến vô hạn, nhưng cho dù n lớn đến bao nhiêu thì 1/2n vẫn không thể bằng 0 được. Vì vậy câu nói lấy mãi không hết hàm ý khái niệm giới hạn. Dùng kí hiệu của toán học hiện đại ta có thể viết .

Giới hạn là khái niệm quan trọng trong toán học. Vào thế kỉ thứ ba Lưu Huy đã sáng tạo phương pháp chia cắt vòng tròn. Ông đã phát hiện khi tăng số cạnh của đa giác đều nội tiếp trong vòng tròn đến vô hạn, thì diện tích của đa giác đều nội tiếp sẽ tiến gần đến diện tích của hình tròn và ông đã dùng phương pháp này để tính số π. Sau này Tổ Xung Chi đã dùng phương pháp này để tính số π có 7 số lẻ sau dấu phảy.

Khái niệm giới hạn chính là cơ sở cho phép tính vi phân, tích phân hiện đại.

Từ khoá: Giới hạn.